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[#2840] “X^n+Y^n”でできる数の不思議
 Cyperus-A  - 13/8/6(火) 14:30 -

引用なし
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    ここ何年か、何か夜寝つけないときに、“頭を疲れさせたら…眠れるかも”ということで、関数電卓を使って、他の人がはたから見ると、“こいつ変”と思われそうな計算をぼーっとするまでやっています。

 それは

X^n+Y^n…*

という式の中に自然数を入れてできる数の素因数分解です。

n≧3ならば

X^n+Y^n=Z^n

をみたすX,Y,Zの自然数解は存在しない

というフェルマーの最終定理のことを知ってから、“もしかして…この*式にかたっぱしから数を代入し、素因数分解したら、何か面白そうな傾向が出てこないかな?”と強く思い、暇なときに、電卓をはたいてきました。

 こないだ…ふっと、ある特徴に気づきました!
 
 どうも…*の式から出た数は、X≠Yのとき、 2nm+1(mは自然数)型の素数を、少なくとも1個は素因数として持つようです。


 X^3+Y^3=(X+Y)(X^2−XY+Y^2)

の場合、素因数分解すると…X≠Yならば、

X+Y由来の素因数×(6の倍数+1型の素数)

という形になってきます。複数の6の倍数+1型素数が続く場合もあります。

X^4+Y^4の場合は
8の倍数+1型の素数単独か、やはり8の倍数+1どうしの積
という素因数分解の結果が出てきます。


もしかして…フェルマー氏がいいたかったのは、“楕円関数の有理点”のことじゃなくって…この関係についての何か規則性について、ご存じだったことじゃなかろうか?

 という気がしてきます。

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[#2840] “X^n+Y^n”でできる数の不思議 Cyperus-A 13/8/6(火) 14:30 [未読]
[#2848] Re:“X^n+Y^n”でできる数の不思議 Cyperus-A 13/9/3(火) 12:54 [未読]

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